Combien de lions faut-il pour tuer un agneau? La réponse n'est pas aussi simple que vous pourriez le penser. Non, au moins, selon la théorie des jeux.

La théorie des jeux est une branche des mathématiques qui étudie et prédit la prise de décision. Cela implique souvent la création de scénarios hypothétiques, ou «jeux», selon lesquels un certain nombre d'individus appelés «joueurs» ou «agents» peuvent choisir parmi un ensemble défini d'actions selon une série de règles. Chaque action aura un "bénéfice" et le but est généralement de trouver le maximum de gains pour chaque joueur afin de déterminer comment ils se comporteront probablement.

Cette méthode a été utilisée dans une grande variété de sujets, y compris économie, biologie, politique et psychologie, et pour aider à expliquer le comportement dans les ventes aux enchères, le vote et la concurrence sur le marché. Mais la théorie des jeux, grâce à sa nature, a également donné lieu à des casse-têtes divertissants.

L'un des moins connus de ces puzzles consiste à déterminer comment les joueurs vont rivaliser sur les ressources, dans ce cas les lions affamés et un agneau savoureux. Un groupe de lions vit sur une île couverte d'herbe mais sans autres animaux. Les lions sont identiques, parfaitement rationnels et conscients que tous les autres sont rationnels. Ils sont également conscients que tous les autres lions sont conscients que tous les autres sont rationnels, et ainsi de suite. Cette conscience mutuelle est ce que l'on appelle "connaissance commune". Il s'assure qu'aucun lion ne prendrait une chance ou n'essayerait de déjouer les autres.

Naturellement, les lions sont extrêmement affamés, mais ils n'essaient pas de se battre parce qu'ils ont la même force physique et qu'ils seraient inévitablement tous morts. Comme ils sont tous parfaitement rationnels, chaque lion préfère une vie affamée à une mort certaine. Sans alternative, ils peuvent survivre en mangeant une provision d'herbe essentiellement illimitée, mais ils préféreraient tous consommer quelque chose de plus maigre.

Un jour, un agneau apparaît miraculeusement sur l'île. Quelle créature malheureuse il semble. Pourtant, il a effectivement une chance de survivre à cet enfer, en fonction du nombre de lions (représenté par la lettre N). Si un lion consomme l'agneau sans défense, il deviendra trop plein pour se défendre des autres lions.

En supposant que les lions ne peuvent pas partager, le défi consiste à déterminer si l'agneau survivra ou non en fonction de la valeur de N. Ou, pour le dire autrement, quelle est la meilleure ligne de conduite pour chaque lion - manger l'agneau ou ne pas manger l'agneau - en fonction de combien d'autres il y a dans le groupe.

La solution

Ce type de problème de théorie des jeux, où vous devez trouver une solution pour une valeur générale de N (où N est un nombre entier positif), est un bon moyen de tester la logique des théoriciens du jeu et de montrer comment fonctionne l'induction inverse. L'induction logique implique l'utilisation de preuves pour former une conclusion qui est probablement vraie. Induction vers l'arrière est un moyen de trouver une réponse bien définie à un problème en revenant, étape par étape, au cas très simple, qui peut être résolu par un simple argument logique.

Dans le jeu des lions, le cas de base serait N = 1. S'il n'y avait qu'un seul lion affamé sur l'île, il n'hésiterait pas à manger l'agneau, puisqu'il n'y a pas d'autres lions pour le concurrencer.

Voyons maintenant ce qui se passe dans le cas de N = 2. Les deux lions concluent que si l'un d'eux mange l'agneau et devient trop plein pour se défendre, il sera mangé par l'autre lion. En conséquence, aucun des deux ne tenterait de manger l'agneau et les trois animaux vivraient heureux ensemble en mangeant de l'herbe sur l'île (si vivre une vie uniquement dépendante de la rationalité de deux lions affamés peut être appelé heureux).

Pour N = 3, si l'un des lions mange l'agneau (devenant effectivement lui-même un agneau sans défense), il ramènerait le jeu au même scénario que pour N = 2, dans lequel aucun des lions restants ne tentera de consommer le lion nouvellement sans défense. Donc, le lion qui est le plus proche de l'agneau réel, le mange et trois lions restent sur l'île sans tenter de s'entretuer.

Et pour N = 4, si l'un des lions mange l'agneau, cela réduirait le jeu au scénario N = 3, ce qui signifierait que le lion qui a mangé l'agneau finirait par être mangé lui-même. Comme aucun des lions ne veut que cela arrive, ils laissent l'agneau seul.

Essentiellement, le résultat du jeu est décidé par l'action du lion le plus proche de l'agneau. Pour chaque entier N, le lion se rend compte que manger l'agneau réduirait le jeu au cas de N-1. Si le cas N-1 entraîne la survie de l'agneau, le lion le plus proche le mange. Sinon, tous les lions laissent vivre l'agneau. Donc, en suivant la logique du scénario de base à chaque fois, nous pouvons conclure que l'agneau sera toujours mangé quand N est un nombre impair et survivra quand N est un nombre pair.

À propos de l’auteur

Amirlan Seksenbayev, candidat au doctorat en sciences mathématiques, probabilités et applications, Queen Mary University of London

Cet article a été publié initialement le The Conversation. Lis le article original.

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